\section{多项式的分解}

\begin{frame}{域的概念回顾}
多项式和整数的许多性质极其相似， 故应对照讨论。 这里所说的多项式，即是 $3 x^{4}+x^{3}+\frac{2}{3} x+5$ 这类中学学过的式子， 不过系数要求属于某个域（故需先介绍“域”的概念), 而且 $x$ 是未定元 (即不限定范围， 不再只是未知数或变量).

\pause
若 $F$ 是某些数构成的集合，且 $F$ 对加、减、乘、除封闭 (即 $F$ 中的数经过加减乘除之后仍属于 $F$, 约定 0 不做除数), 则称 $F$ 为一个数域(field)。
域的最常见例子有

(1) 有理数集合， 记为 $\mathbb{Q}$ (源自 Quotient), 称为\emph{有理数域}。

(2) 实数集合， 记为 $\mathbb{R}$ (源自 Real)，称为\emph{实数域}。

(3) 复数集合， 记为 $\mathbb{C}$ (源自Complex), 称为\emph{复数域}。

\pause
复数域 $\mathbb{C}$, 即是 $a+b \mathrm{i}$ 全体 ($a, b \in \mathbb{R}$), 其加减乘除的运算规则与实数的运算规则一样， 只需记住 $i^{2}=-1$ 即可 (将 $i$ 当作一个特殊的符号， 具有性质 $i^{2}=-1$. 也常记 $i=\sqrt{-1}$). 
\pause
例如， 复数的乘、除法为
\[
  \begin{gathered}
  (a+b \mathrm{i})(c+d \mathrm{i})=(a c-b d)+(a d+b c) \mathrm{i} \\
\frac{a+b \mathrm{i}}{c+d \mathrm{i}}=\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}+\frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}} \mathrm{i}
\end{gathered}
\]
（后者是当 $c^{2}+d^{2} \neq 0$).

\pause
读者若对域的概念一时难以理解， 可以将本节的域 $F$ 都视为有理数域 $Q$.
\end{frame}

\begin{frame}{形式多项式环}

设 $F$ 为任一域 (例如 $F=\mathbb{Q}$ 为有理数集合), $X$ 是一个符号 (不是 $F$ 中的元素). 则称
\[
f(X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \quad \text { (其中 $a_{i} \in F, i=0,1, \cdots, n$)}
\]
为域 $F$ 上的一个单变 (元)的\emph{多项式形式} (也简称为\emph{多项式}), $n$ 为非负整数。如果 $a_{n} \neq 0$, 则称 $n$ 为 $f(X)$ 的次数， 记为 $\operatorname{deg} f(X)$, 称 $a_{n} X^{n}$ 为\emph{首项}。 称 $a_{0}$ 为\emph{常数项}。 称每个 $a_{i} X^{i}$ 为一项， 该项次数为 $i$ (非负整数), 系数为 $a_{i}$. 如果 $a_{i}=0$,则此项 $0 X^{i}$ 可以省略不写。

\pause
任一非零数 $a \in F$ 也视为多项式， 次数为 $0$.  $0 \in F$ 也视为多项式， 没有首项， 次数规定为 $-\infty$. 多项式 $f(X)$ 也记为 $f$.

\pause
对任意两个多项式
\[
f(X)=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \quad \text { 与 } g(X)=b_{m} X^{m}+\cdots+b_{1} X+b_{0}
\]
$\left(a_{n} \neq 0, b_{m} \neq 0\right)$, 我们规定 $f(X)=g(X)$ 当且仅当 $m=n$ 且 $a_{i}=b_{i}$ （对 $i=1, \cdots$, $n$ ). 也就是说， 二者相等当且仅当它们的次数相等且对应系数皆相等， 亦即它们“形式上完全一样”.一这就是称它们为多项式“形式”的缘由。
\end{frame}

\begin{frame}
多项式之间的加减法与乘法， 和中学时的多项式一样定义。 设
\[
f(X)=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \quad \text { 与 }\quad g(X)=b_{m} X^{m}+\cdots+b_{1} X+b_{0} \in F[X]
\]
（不妨设 $n \geqslant m$; 而且对 $m<i \leqslant n$, 记 $b_{i}=0$ ), 则定义加减法和乘法如下：
\[
  \begin{aligned}
  & f(X) \pm g(X)=\sum_{i=0}^{n}\left(a_{i} \pm b_{i}\right) X^{i} \\
& f(X) g(X)=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i+j=k} a_{i} b_{j}\right) X^{k}
\end{aligned}
\]
\pause
显然，“积的首项等于首项的积”，即 $(f \cdot g) \text{的首项} = (f  \text{~的首项}) \cdot(g \text{~的首项})$. 这说明
\[
  \operatorname{deg}(f g)=\operatorname{deg} f+\operatorname{deg} g.  
\]
\pause
由此可知， 若 $f \neq 0, g \neq 0$, 则 $f g \neq 0$ (因此称 $F[X]$ 无零因子). 
\pause
由此又可知， 若 $f h=g h, h \neq 0$, 则 $f=g$ (因此称 $F[X]$ 满足消去律) --- 这是因为， 
由 $h \neq 0$ 与 $f-g \neq 0$ 可推知 $(f-g) h \neq 0$, 矛盾。

\pause
域 $F$ 上的多项式形式全体记为 $F[X]$. 它与整数集 $\mathbb{Z}$ 有诸多类似之处。

\pause
注意， 与整数类似， 域 $F$ 上的一般的多项式 $f(X)$ 是不可逆的， 即 $\frac{1}{f(X)}$ 一般不再是多项式。 可逆的多项式只有非零常数(全体记为 $F^{*}$ ). 例如， $f(X)=$ $2 / 5$ 是 $0$ 次多项式， $\frac{1}{f(X)}=5 / 2$ 也是多项式。 类似地， 一般的整数也不可逆，只有 $\pm 1$ 才是可逆的整数。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{theorem}%定理1
    [带余除法， Euclid除法]
    域 $F$ 上多项式形式集 $F[X]$ 中可进行带余除法， 即对任意 $f, g \in F[X]$ 且 $g \neq 0$, 必存在 $q, r \in F[X]$ 使得
  \[
  f=g q+r \quad(r=0 \text { 或 } \operatorname{deg} r<\operatorname{deg} g),
\]
且 $q, r$ 由 $f, g$ 唯一决定 (称 $q$ 为 (不完全) 商， 称 $r$ 为余式).
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
 带余除法可由长除法(long division)实现：设
 \[
 f=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{0}, \quad g=b_{m} X^{m}+\cdots+b_{0} \quad\left(a_{n} \neq 0, b_{m} \neq 0\right)
 \]
 若 $f$ 的次数比 $g$ 的低， 则令 $r=f, q=0$ 即可; 否则令 $q_{1}=\left(a_{n} / b_{m}\right) X^{n-m} \in F[X]$,则 $f-q_{1} g=f_{1}$ 的次数比 $f$ 的低。 再对 $f_{1}, g$ 作上述同样讨论， 可得 $f-q_{1} g-\cdots-q_{s} g=$ $f_{s}$ 的次数低于 $\operatorname{deg} g$, 令 $r=f_{s}, q=q_{1}+\cdots+q_{s}$ 即可。 再证唯一性， 若 $f=g q+r=g q^{\prime}+r^{\prime}$, 则
 \[
 g\left(q-q^{\prime}\right)=r^{\prime}-r
 \]
 若非零， 则右边次数低， 矛盾。 故 $q=q^{\prime}, r=r^{\prime}$.
 \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   如果 $f=g q$ ($g \neq 0$), 则称 $g$ \emph{整除} $f$, 记为 $g \mid f$, 称 $g$ 是 $f$ 的\emph{因子}， $f$ 是 $g$ 的\emph{倍}。
\pause
 $f$ 的 “平凡因子” 是指 $1$ 和 $f$ 及它们的非零常数倍。 例如 $3(X-1) \mid\left(X^{2}-1\right)$,因为
 \[
   X^{2}-1=[3(X-1)] \cdot\left[\frac{1}{3}(X+1)\right].
 \]
 \pause
 注意， “非零常数倍”不影响多项式的整除关系， 即若 $g \mid f$, 则 $b g \mid a f$ (对
 任意非零常数 $a, b \in F)$. 
\pause
 因此， 相差非零常数倍的两个多项式 $g$ 和 $c g$ 称为\emph{相结合的}， 或\emph{相伴的} (associate). 
\pause
 反之， 如果 $g \mid f$ 且 $f \mid g$, 则 $f$ 与 $g$ 必是相伴的 (读者证之). 
\pause
 每个非零多项式都相伴于一个首一的 (monic, 即首项系数为 $1$ 的) 多项式。


 \pause
 若多项式 $f=g q$ 且 $q, g \in F[X]$ 均不是常数（亦即 $q, g$ 的次数均低于 $f$的次数), 则称 $f$ 是\emph{可约的}，否则称 $f$ 是\emph{不可约的}或\emph{不可分解的}（在 $F[X]$中或在 $F$ 上). 
\pause
 注意不可约的 $f$ 只有平凡因子。 
\pause
 例如， $F=\mathbb{Q}$ 上的不可约多项式有
 \[
 X^{2}-2, \quad X^{2}+1, \quad X^{3}+X+1
 \]
 等等。

 \pause
 多项式 $d(X)$ 称为 $f, g$ 的\emph{最大公因子}是指： (1) $d(X)$ 是 $f$ 和 $g$ 的公因子; (2) $d(X)$ 是 $f, g$ 的任一公因子的倍。 
\pause
 最大公因子不唯一， 它们互为伴随， 以 $(f, g)$ 记首一的最大公因子。 
\pause
 如果 $(f, g)=1$, 则称 $f$ 和 $g$ \emph{互素}。
 \end{frame}


 \begin{frame}{$\mathbb{Z}$与$F[x]$的相似之处}

  至此， 我们看到整数集 $\mathbb{Z}$ 和多项式集 $F[X]$ 的许多对应相似之处。 我们先列一个对照表， 读者先看表的前半部分， 后半部分是我们将要得出的。
  \begin{table}
    \small
    \begin{center}
      \caption*{整数集 $\mathbb{Z}$ 和域上多项式集 $F[X]$ 的对应相似}
    \begin{tabular}{c|c|c}
    \hline
  整数集 $\mathbb{Z}$ & 域上多项式集 $F[X]$ & 说明 \\
\hline
对加减乘封闭 & 对加减乘封闭 & 即二者均为环 \\
\hline
无零因子 & 无零因子 & 即二者均为整环 \\
\hline
消去律 & 消去律 & 等价于无零因子 \\
\hline
绝对值 $|a|$ & 次数 $\operatorname{deg} f$ & 对元素大小的衡量 \\
\hline
$\{1,-1\}$ & $F^{*}$ (非零常数) & 可逆元集， 不影响整除 \\
\hline
正 & 首一 & 结合元中选一 \\
\hline
整除， 因子， 倍 & 整除，因子，倍 &  \\
\hline
素数 & 不可约多项式 &  \\
\hline
合数 & 可约多项式 &  \\
\hline
带余除法 & 带余除法 & 即二者均为 Euclid 环 \\
\hline
㜊转相除法 & 辗转相除法 &  \\
\hline
Bézout 等式 & Bézout 等式 & 即二者均为 Bézout 环 \\
\hline
唯一因子分解 & 唯一因子分解 & 即二者均为唯一析因环 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
 %名词说明： 表中最后一列中的名词， 读者可暂只作为名词称呼使用， 不必深究， 后面会学到。
由整数和多项式的基本相似点， 可推知更多的相似结果， 其推理与上几节的推理几乎完全一样， 只需做上述概念和名词置换 (例如将素数换为不可约多项式， 将 $\pm 1$ 换为 $F^{*}$ (非零常数), 等). 故证明不再写出， 读者可作为练习补出。
\end{frame}

\begin{frame}

同整数一样， 对于多项式， 由带余除法 (定理 1) 也可推出辗转相除法， 并由此得到最大公因子的存在和计算方法， 以及 Bézout 等式：

\begin{theorem}%定理2
域 $F$ 上不全为零的多项式 $f(X), g(X) \in F[X]$ 的最大公因子 $d(X) \in$ $F[X]$ 是存在且唯一的 (不计常数倍意义下), $d(X)$ 就是 $f$ 与 $g$ 辗转相除的最后非零余式 $r_{s}$. 而且存在 $u(X), v(X) \in F[X]$ 使
\[
u(X) f(X)+v(X) g(X)=d(X) \quad \text { (Bézout 等式). }
\]
\end{theorem}
\pause
\begin{corollary}%系1
多项式 $f(X), g(X) \in F[X]$ 互素当且仅当存在 $u(X), v(X) \in$ $F[X]$ 使
\[
u(X) f(X)+v(X) g(X)=1 \quad \text { (Bézout 等式). }
\]
\pause
任意 $s$ 个多项式 $f_{1}, \cdots, f_{s} \in f[X]$ 的最大公因子 $d$ 类似 $s=2$ 情形定义， 即
(1) $d \mid f_{i}(i=1, \cdots, s)$; (2) 若 $\delta \mid f_{i}(i=1, \cdots, s)$, 则 $\delta \mid d$.
\pause
首一的最大公因子记为 $\left(f_{1}, \cdots, f_{s}\right)$. 
\pause
易知
\[
\left(f_{1}, \cdots, f_{s-1}, f_{s}\right)=\left(\left(f_{1}, \cdots, f_{s-1}\right), f_{s}\right)
\]
\pause
由此可知也有 $u_{i} \in F[X](i=1, \cdots, s)$ 使得
\[
u_{1} f_{1}+\cdots+u_{s} f_{s}=\left(f_{1}, \cdots, f_{s}\right) \quad \text { (Bézout 等式). }
\]
\end{corollary}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{theorem}%定理3
  域 $F$ 上任一非常数多项式 $f(X) \in F[X]$ 均可唯一因子分解， 即表示为
\[
f(X)=p_{1}(X) \cdots p_{s}(X)
\]
其中 $p_{1}(X), \cdots, p_{s}(X) \in F[X]$ 为不可约多项式， 而且是唯一的（不计次序和非零常数倍) (此定理也被简述为： $F[X]$ 是唯一析因整环).
\end{theorem}

\pause
上述分解式也可写为
\[
f(X)=a p_{1}(X)^{v_{1}} \cdots p_{r}(X)^{v_{r}}
\]
其中 $a \in F^{*}$ (为非零常数), $p_{1}(X), \cdots, p_{r}(X) \in F[X]$ 为互异首一不可约多项
式。 
\pause
$p_{i}(X)$ 是 $f(X)$ 的 $v_{i}$ 重因子， 记为 $p_{i}(X)^{v_{i}}~\|~f(X)$.


~

\pause
再考虑多项式的根和重根。 设 $f(X)=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \in F[X]$ 为域 $F$ 上的多项式， $c \in F$ 为常数。 则 $f(c)=a_{n} c^{n}+\cdots+a_{1} c+a_{0} \in F$ 称为 $f(X)$ 在 $c$ 点的 \emph{(取) 值}。若 $f(c)=0$, 则称 $c$ 为 $f(X)$ 的\emph{根}或\emph{零点}， 也称 $c$ 为方程 $f(X)=0$ 的\emph{根}或\emph{解}。

\pause
考虑 $f(X)$ 除以 $X-c$ 的带余除法：
\[
f(X)=(X-c) q(X)+r
\]
其中 $q(X)$ 和余数 $r \in F$ 唯一。 于是 $f(c)=(c-c) q(c)+r=r$. 故得


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{theorem}%定理4
设 $f(X) \in F[X], c \in F$, 则有

(1) (余数定理) $X-c$ 除 $f(X)$ 的余数为 $r=f(c)$.

(2) (因子定理) $(X-c)\mid f(X)$当且仅当 $f(c)=0$.
\end{theorem}

\pause
此定理说明， $c \in F$ 为 $f(X)$ 的根当且仅当 $f(X)=(X-c) q(X)$. 
\pause
如果
\[
f(X)=(X-c)^{m} g(X) \quad(g(c) \neq 0, m \geqslant 1)
\]
则称 $c$ 为 $f(X)$ 的 \emph{$m$ 重根} (或 $m$ 重零点), $m \geqslant 2$ 时称 $c$ 为\emph{重根} (multiple root); $m=1$ 时称 $c$ 为\emph{单根} (simple root). 
\pause
特别可知， $c_{1}, \cdots, c_{s} \in F$ (相等的按出现的次数计入重数) 为 $f(X)$ 的根当且仅当 $f(X)=\left(X-c_{1}\right) \cdots\left(X-c_{s}\right) g(X)$.

\pause
\begin{theorem}%定理5
  (1) 设 $f(X)$ 为域 $F$ 上 $n$ 次多项式 $(n \geqslant 0)$, 则 $f(X)$ 在域 $F$ 中最多有 $n$ 个根 (重根按重数计入).

 (2) 设 $f, g \in F[X]$ 的次数均不超过 $n(n \geqslant 0)$, 且在 $F$ 中 $n+1$ 个不同点取值相同， 则 $f=g$ 必是同一个多项式形式。
 \end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}



\begin{proof}
(1) 对多项式的次数用数学归纳法。 当次数为 1 时， 定理显然成立。假设对次数不超过 $n$ 的多项式， 定理成立。 现在考虑 $n$ 次多项式 $f(X)$. 若 $c_{1} \in F$为 $f(X)$ 的根， 由上述知 $f(X)=\left(X-c_{1}\right) q(X)$, 故 $\operatorname{deg} q=n-1$. 由归纳法假设知 $q(X)$ 在 $F$ 中根个数不超过 $n-1$. 从而知 $f(X)$ 在 $F$ 中最多有 $1+(n-1)=n$ 个根。

(2) 令 $h(X)=f(X)-g(X)$, 则 $h(X)$ 次数不超过 $n$ 而有 $n+1$ 个不同零点在 $F$ 中， 故由 (1) 知 $h(X)=0, f(X)=g(X)$.
\end{proof}

需要注意的是， 在不是域的集合中， $n$ 次多项式可有多于 $n$ 个根!

~ 

\pause
为了判断多项式的重根， 引人如下形式微商的概念， 只用到代数运算。

\begin{definition}%定义1
  $F[X]$ 中多项式 $f(X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}$ 的 
  \emph{(形式)微商} (\emph{导数}) 定义为
\[
f^{\prime}(X)=n a_{n} X^{n-1}+(n-1) a_{n-1} X^{n-2}+\cdots+a_{1} \in F[X]
\]
也记 $f^{\prime}(X)$ 为 $f^{\prime}$ 或 $f(X)^{\prime}$ 或 $f^{(1)}(X)$.
\pause
归纳地定义 $k$ 阶微商为 $f^{(k)}(X)=\left[f^{(k-1)}(X)\right]^{\prime}$.
\pause
微商的下列性质很容易验证 (对 $f, g \in F[X], c \in F$ ):
\[
(c f)^{\prime}=c f^{\prime}, \quad(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}, \quad(f g)^{\prime}=f^{\prime} g+f g^{\prime}, \quad\left(f^{m}\right)^{\prime}=m f^{m-1} f^{\prime}
\]
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{theorem}%定理6
设 $f(X) \in F[X], c \in F$.

(1) $c$ 为 $f(X)$ 的重根当且仅当 $f(c)=f^{\prime}(c)=0$, 即 $c$ 为 $\left(f, f^{\prime}\right)$ 的根。

(2) 若 $\left(f, f^{\prime}\right)=1$, 则 $f(X)$ 无重根 (在任意含 $F$ 的域 $E$ 中).

(3) 若 $f(X)$ 是数域 $F(\subset \mathbb{C})$ 上的不可约多项式， 则 $f(X)$ 无 (复数) 重根。
\end{theorem}

\pause
\begin{proof}
  (1) 设 $f(X)=(X-c)^{m} g(X)\left(g(c) \neq 0, m \geqslant 1\right.$ (记为 $(X-c)^{m} \| f(X)$ ), 则
\[
f^{\prime}(X)=m(X-c)^{m-1} g(X)+(X-c)^{m} g^{\prime}(X)
\]
若 $c$ 为重根， 则 $m \geqslant 2$, 显然 $f^{\prime}(c)=0$. 若 $c$ 为单根， 则 $m=1$, 于是
\[
f^{\prime}(X)=g(X)+(X-c) g^{\prime}(X), \quad f^{\prime}(c)=g(c) \neq 0
\]

(2) 由 (1) 立得。 注意 $f(X) \in F[X] \subset E[X]$, 即 $f(X)$ 也可视为 $E$ 上多项式， 此时仍有 $\left(f, f^{\prime}\right)=1$ (因为 $\left(f, f^{\prime}\right)$ 由辗转相除得到， 只与 $f$ 的系数 (生成的) 域有关).

 (3) 设 $\operatorname{deg} f=n(n \geqslant 1)$, 则 $\operatorname{deg} f^{\prime}=n-1$. 因 $f$ 不可约（因子只有 1 和 $f$, 不计非零常数倍), 故 $\left(f, f^{\prime}\right)=1$ 或 $f$. 而后者需要 $f \mid f^{\prime}$, 不可能。 故 $\left(f, f^{\prime}\right)=1$,定理得证。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
我们还将在 \S7.2 进一步讨论多项式。

  \begin{comment*}%评述
  整数集 $\mathbb{Z}$ 和域 $F$ 上多项式形式集 $F[X]$, 二者最基本的类似在于均有带余除法， 由此推出都有辗转相除法， 从而得出最大公因子的存在和 Bézout 等式， 再推出可唯一因子分解。 这种思维路线可拓展到其余对象。 $\mathbb{Z}$ 和 $F[X]$的对应相似将有进一步的发展， 并最终发展为代数数论 ( $\mathbb{Z}$ 的深度发展) 和代数几何 ( $F[X]$ 的深度发展) 理论的相似、类比、互促和统一。 论数者单赞这 “多项式形式之妙”曰：
  \begin{poem}
  自由无羁艾克斯， 生成形式多项式。\\
心有灵犀英蒂吉， 几何数论双比翼。
\end{poem}
\end{comment*}

\end{frame}

